すべての対称性の対称性に関するポーランドの数学者による先駆的な研究

ポーランドの数学者は、 すべての対称性の対称性 解決する。 これは数十年の間未解決の問題でした-群論の幾何学理論の最大の課題のXNUMXつです。

博士の結果。 マレク・カルバ（アダム・ミツキェヴィチ大学とカールスルーエ工科大学）、ダウィド・キーラック教授（オックスフォード大学）、ピオトル・ノワク教授（ポーランド科学アカデミーの数学研究所）最も有名な数学雑誌のXNUMXつに掲載されました 数学の年報 veröffentlicht。

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私たちは、特定の無限の家族が 代数オブジェクト-グループ -プロパティTを持っているため、 ユークリッド幾何学 は "、Nowakを要約します。

そして博士。 Marek Kalubaは次のように付け加えています。私たちの調査のおかげで、すべてが対称性をエンコードするグループの特定の幾何学的側面を理解しました。
のあるオブジェクト プロパティT私たちが調べたものは非常にエキゾチックな幾何学的特性を持っています（それらは呼び出すことができません 対称性 で ユークリッド幾何学 実現されます）。 これは現実から切り離されているように見えますか？ 表面的には、そうです。 しかし、Tのこの複雑な特性に関する知識は、すでに応用されています。 これにより、たとえば、エクスパンダの構築が可能になります。これは、多数の接続を持つグラフです。 ストリーミングアルゴリズム 利用される。 など アルゴリズム の表示のためにとりわけあります Twitterのトレンド 責任。

私たちが調べたグループがそのような特性Tを持っているかどうかという質問は、90年代に印刷されました。 私が博士課程の学生だったとき、それは私が他のすべての講義や会議で遭遇する問題でした 群論 聞いた-ピオトルノワクを要約します。
そして、Dawid Kielakは次のように付け加えています。私たちの結果は、特定のアルゴリズムがどのように機能するかを説明しています。 これは、大規模なセットからアイテムをプルする場合に使用される製品置換アルゴリズムです。 B.宇宙の粒子数よりも多くの要素を持つセット。 これです アルゴリズム 1990年代から存在しており、予想よりもはるかにうまく機能します。 私たちの記事は、なぜそれがうまく機能するのかを説明しています-キーラック教授は言います。

そして彼は次のように付け加えています。コンピュータサイエンスは新しいものです 物理学。 私たちを取り巻くのは粒子だけでなく、ますますアルゴリズムでもあります。 数学者としての私たちの仕事は、アルゴリズムを理解し、アルゴリズムが機能するかどうかを示すことです。 科学者たちは、数学的な証明をコンピューター計算に頼ってきました。 数学の定理を証明するためにコンピューターを使用することは、これまで特にエレガントであるとは考えられていませんでした。 のコミュニティ 理論数学者 主にコンピューターで彼の鼻にしわを寄せた。 しかし、ここでは、この最新のアプローチが非常にうまく機能しました。

コンピュータはただ雑用をしました。 しかし、それは論理に取って代わっていません。 私たちのアイデアは、無限の問題の縮小を有限の問題に適用することでした-キーラック教授と博士は言います。 マレク・カルバは次のように付け加えています。 最適化問題 削減し、このために 最適化 使用される標準ツール-エンジニアがコンポーネントの設計に使用するアルゴリズム。

コンピューターには、特定の基準を満たすマトリックスを見つけるタスクが与えられました。 マシンはソリューションを作成し、与えられた条件をどの程度満たしているかを確認し、可能な限り低いエラー率を達成するためにこのマトリックスを徐々に改善しました。 唯一の問題は、達成できる許容誤差がどれだけ小さいかということでした。最終的な近似でのコンピューターの誤差は非常に小さいことが判明しました。 したがって、コンピュータの計算により、適切なものでそれが可能になりました 数学的議論 -厳密な証拠を入手します。

コンピュータによって作成されたもの マトリックスには4,5千列と4,5千行がありました。 Marek Kalubaは、彼らが取り組んでいた問題は当初は大きすぎて、スーパーコンピューターで自分たちで解決することはできなかったと説明しています。 そこで、この問題の内部対称性を使用して、解決策を見つけやすくしました-と彼は言います。 そして彼は、同様のアプローチを使用して、幾何学的によるオブジェクトの最適化の分野における他の問題を解決することもできると説明しています。 対称性 マークされています。 これらの対称性（代数形式）は、最適化問題でも観察可能であり、次の目的で使用できます。 複雑さの軽減 使用することができます-博士は言います。 カルバ。 そして彼は次のように付け加えています。私たちは抽象的な数学を扱っていますが、私たちのソフトウェアが技術的なアプリケーションでも役立つことを望んでいます。